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Owen's T/Q 函数在生物统计学样本量计算中的应用

1. 使用场景：它解决什么问题

一句话直觉：当你要回答"做多少次实验才够，才能有把握地宣称两个东西几乎一样（而不是不一样）"，普通的"差异检验"功效公式就会失效，这时就需要 Owen's T/Q 函数来精确计算把握度（power）和样本量。

最典型、也最规范的应用场景是药物生物等效性（bioequivalence, BE）试验：

  • 仿制药（generic drug）上市前，必须证明它与原研药（reference）在吸收速度和程度上等效（通常是药代动力学参数 AUC、C_max 的几何均值比落在 $0.80$–$1.25$ 之间）。
  • 法规上要求采用 双单侧检验（TOST） 程序：把"等效"拆成两个单侧检验，两个检验都必须显著才算等效。

为什么普通功效概念不够用：在"差异检验"里，功效是"真实差异存在时能检出的概率"，随样本量增大而单调趋近 1；而"等效检验"的功效是"真实比值落在等效区间内时、置信区间能被完整装进 $[0.80,1.25]$ 的概率"，它由两个共享同一随机分母的非中心 t 统计量共同决定。这个联合概率无法用单一非中心 t 分布直接写出，而恰好可以用 Owen 的 Q 函数（以及更基础的 Owen 的 T 函数）来精确表达。

Owen's T 与 Owen's Q 的分工：

  • Owen's T（Owen 1956）解决的是二元正态矩形区域的概率；
  • Owen's Q（Owen 1965）把同样的思想推广到二元非中心 t 分布——而 TOST 的功效正是"相关系数为 $-1$ 的二元非中心 t"这种特殊情形的概率（Owen 那篇论文的标题就叫 A Special Case of a Bivariate Non-Central t-Distribution）。

一个关键结论（后文会推导并验证）：TOST 的精确功效

$$ 1-\beta ;=; F_\nu!\left(-t_{1-\alpha,\nu};\delta_2\right) - F_\nu!\left(t_{1-\alpha,\nu};\delta_1\right) - \big[Q\text{-校正项}\big], $$

其中 $F_\nu(\cdot;\delta)$ 是非中心 t 的 CDF（它本身就是 $Q_\nu$ 在积分下限为 $0$ 时的特例），方括号里是 Owen's Q 在积分下限 $R>0$ 处的小校正。实用上这个校正项通常极小，但"必须同时通过两个单侧检验"这个两尾结构带来的效应却很大——这正是必须用 Owen 的 Q 函数而非简单正态近似的根本原因。

2. 基础知识

2.1 非中心 t 分布

直觉：普通的（中心）t 分布描述"样本均值对标准误的比值"在零假设为真时的行为；非中心 t 分布描述备择假设为真（真实效应 $\delta\neq 0$）时同一个比值的行为。功效分析的本质，就是在备择假设下计算这个比值的分布。

定义：若 $Z\sim N(0,1)$ 与 $V\sim\chi^2_\nu$ 独立，则

$$ T ;=; \frac{Z+\delta}{\sqrt{V/\nu}} ;\sim; t_\nu(\delta), $$

$\delta\in\mathbb R$ 为非中心参数（noncentrality parameter, NCP），$\nu$ 为自由度。$\delta=0$ 时退化为中心 t 分布。

CDF 的积分表示（这是通往 Owen's Q 的关键一步）。设 $W=\sqrt{V/\nu}$，则

$$ F_\nu(t;\delta)=\Pr(T\le t)=\int_0^\infty \Phi(t w-\delta),f_W(w),dw, \qquad f_W(w)=\frac{2(\nu/2)^{\nu/2}}{\Gamma(\nu/2)},w^{\nu-1}e^{-\nu w^2/2},\quad w>0. $$

直观解释：先固定分母 $W=w$，此时 $T$ 条件地服从 $N(\delta/w,,1/w^2)$ 形态，$\Pr(T\le t\mid w)=\Phi(tw-\delta)$；再对 $w$ 的（卡方派生）密度积分。

矩（对 $\nu>1$、$\nu>2$ 分别成立）：

$$ \mathbb E[T]=\delta\sqrt{\frac{\nu}{2}},\frac{\Gamma!\big(\frac{\nu-1}{2}\big)}{\Gamma!\big(\frac{\nu}{2}\big)}, \qquad \operatorname{Var}(T)=\frac{\nu}{\nu-2}(1+\delta^2)-\big(\mathbb E[T]\big)^2. $$

注意 $\mathbb E[T]\approx\delta$（当 $\nu$ 较大时），这解释了为什么 NCP $\delta$ 可以近似看成"检验统计量期望偏离零假设的量"。

2.2 Owen's T 函数（二元正态概率）

直觉：要算"两个都服从正态的变量 $X,Y$ 同时不超过各自阈值"的概率（二元正态矩形概率），不能简单相乘（它们相关），Owen's T 就是那个"修正相关性的积分"。

定义（Owen 1956）：

$$ T(h,a)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{a}\frac{\exp!\big[-\tfrac{h^2}{2}(1+x^2)\big]}{1+x^2},dx, \qquad -\infty<h<\infty,\ -\infty<a<\infty. $$

基本性质：

$$ T(h,0)=0,\qquad T(0,a)=\frac{1}{2\pi}\arctan a,\qquad T(-h,a)=T(h,a),\qquad T(h,-a)=-T(h,a),\qquad T(h,\infty)=\tfrac12,\Phi(-|h|). $$

与二元正态的联系：对相关系数为 $\rho$ 的标准二元正态，

$$ \Pr(X\le h,\ Y\le k)=\Phi(h)\Phi(k)+\frac{1}{2\pi}\int_0^{\rho}\frac{1}{\sqrt{1-r^2}}\exp!\left[-\frac{h^2-2rhk+k^2}{2(1-r^2)}\right]dr, $$

Owen (1956) 进一步把它约化为 T 函数：

$$ \Pr(X\le h,Y\le k)=\tfrac12\Phi(h)+\tfrac12\Phi(k)-T!\left(h,\frac{k-\rho h}{h\sqrt{1-\rho^2}}\right)-T!\left(k,\frac{h-\rho k}{k\sqrt{1-\rho^2}}\right)-c, \qquad c=\begin{cases}0,&hk\ge0\ \tfrac12,&hk<0.\end{cases} $$

（$h$ 或 $k=0$ 为退化边界，需单独处理。）

2.3 Owen's Q 函数（二元非中心 t / 非中心 t CDF）

直觉：把 2.2 的"二元正态矩形概率"换成"二元非中心 t"，并且考虑两个统计量共享同一个分母（相关系数 $\pm 1$）这种特殊情形，得到的推广就是 Owen's Q。

定义（Owen 1965；本文采用"约定 A"，即积分核中为 $tx/\nu$）：

$$ Q_\nu(t,\delta;0,R)=\frac{\sqrt{2\pi}}{\Gamma!\big(\tfrac\nu2\big),2^{(\nu-2)/2}}\int_R^{\infty}\Phi!\left(\frac{t x}{\nu}-\delta\right)x^{\nu-1}\phi(x),dx, \qquad \phi(x)=\frac{e^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}}. $$

（不同文献可能把核写成 $tx/\sqrt\nu$，二者只差一个换元 $x\mapsto x\sqrt\nu$，读文献时务必核对约定。）

关键恒等式：作换元 $x=w\sqrt\nu$ 后，$Q_\nu$ 与 2.1 的非中心 t CDF 一致，即

$$ F_\nu(t;\delta)=Q_\nu!\big(t\sqrt\nu,\ \delta;\ 0,\ 0\big). $$

也就是说：非中心 t 的 CDF 就是 Owen's Q 函数在积分下限 $R=0$ 时的特例；而 $R>0$ 时的 $Q_\nu$ 用来处理"截断积分"，正是 TOST 功效里需要的那个校正。

2.4 生物等效性的假设检验（TOST）

背景与尺度：药代参数通常近似对数正态，故分析在对数尺度进行。记

$$ \mu=\ln!\left(\frac{\text{test}}{\text{reference}}\right)=\ln(\text{真实比值}), $$

等效区间 $[\theta_1,\theta_2]$ 在 log 尺度上为 $[\ln 0.80,\ \ln 1.25]=[-0.2231,\ 0.2231]$。

双单侧检验（TOST, Schuirmann 1987）：把"等效"写成两个单侧假设

$$ H_{01}:\ \mu\le\theta_1 \quad \text{vs.}\quad H_{11}:\ \mu>\theta_1, \qquad H_{02}:\ \mu\ge\theta_2 \quad \text{vs.}\quad H_{12}:\ \mu<\theta_2. $$

两个零假设都在水平 $\alpha$ 下被拒绝，才宣告生物等效。这等价于（Westlake / Schuirmann 的置信区间表述）：

$$ (1-2\alpha)\times100%\ \text{置信区间}\ \subseteq\ [\theta_1,\theta_2] \iff \text{等效成立}. $$

所以 BE 常用 90% 置信区间（对应 $\alpha=0.05$ 的 TOST），而不是常规的 95%。

为什么这控制了 I 类错误：若真实比值在区间外，TOST 宣告"等效"的概率不超过 $\alpha$。

2.5 BE 的功效分析与样本量计算

功效的定义：在真实比值 $\mu$（落在 $(\theta_1,\theta_2)$ 内）处，TOST 正确宣告等效的概率：

$$ 1-\beta=\Pr!\big(T_1>t_{1-\alpha,\nu}\ \text{且}\ T_2<-t_{1-\alpha,\nu}\big). $$

常用的简单近似公式（便于快速起手，但会系统性高估功效）。对 $2\times2$ 交叉设计、对称限 $[-\theta,\theta]$、真实比值为 $\mu$：

$$ 1-\beta ;\approx; \Phi!\left(\frac{\sqrt{N},(\theta-|\mu|)}{\sigma_w\sqrt2}-t_{1-\alpha,N-2}\right), $$

由此反解出的近似样本量为

$$ N ;\approx; \frac{2,\sigma_w^2,(z_{1-\alpha}+z_{1-\beta})^2}{(\theta-|\mu|)^2}. $$

这个近似的缺陷：它实际上只用了单侧检验的结构（相当于假设另一个单侧检验"必然通过"），忽略了 TOST 中两个检验共享同一随机量而必须同时通过这一事实。这个近似能把 N=12 时真实只有 64% 的功效误报成 83%，因此法规层面和高精度计算都需要精确公式——Owen's Q。

3. Owen's T/Q 的功效与样本量推导

3.1 模型与检验统计量（以 $2\times2$ 交叉设计为例）

  • 总受试者数 $N$，每序列 $n=N/2$；对数尺度分析。
  • 真实对数比值 $\mu$，个体内标准差 $\sigma_w$（与个体内变异系数 CV 的关系：$\sigma_w=\sqrt{\ln(1+\text{CV}^2)}$）。
  • 疗效差估计 $\hat\mu=\bar X_T-\bar X_R$，其方差（交叉设计去除了个体间变异）：

$$ \operatorname{Var}(\hat\mu)=\sigma_w^2\cdot\frac{2}{N}, \qquad \hat\sigma_w^2:\ \frac{\nu\hat\sigma_w^2}{\sigma_w^2}\sim\chi^2_\nu,\ \ \nu=N-2. $$

标准误约定说明（易混淆点）：$2\times2$ 交叉设计的治疗差标准误是 $\mathrm{SE}=\sigma_w\sqrt{2/N}$（$N$ 为总人数）。有的文献写成 $\sigma_w\sqrt{2/n}$（$n$ 为每序列人数）或把 $\sigma_w$ 定义成"个体内差值的标准差"，量纲会差一个 $\sqrt2$——阅读和复现他人表格时请先确认约定，本文统一用 $\mathrm{SE}=\sigma_w\sqrt{2/N}$。

定义两个检验统计量

$$ T_1=\frac{\hat\mu-\theta_1}{\hat\sigma_w\sqrt{2/N}},\qquad T_2=\frac{\hat\mu-\theta_2}{\hat\sigma_w\sqrt{2/N}}. $$

标准化：令 $Z=\dfrac{\hat\mu-\mu}{\sigma_w\sqrt{2/N}}\sim N(0,1)$、$W=\sqrt{V/\nu}$（$V\sim\chi^2_\nu$），则

$$ T_1=\frac{Z+\delta_1}{W},\quad T_2=\frac{Z+\delta_2}{W}, \qquad \delta_1=\frac{\mu-\theta_1}{\sigma_w\sqrt{2/N}},\quad \delta_2=\frac{\mu-\theta_2}{\sigma_w\sqrt{2/N}}. $$

注意两个统计量共享同一个 $Z$ 和同一个 $W$——这就是"相关系数为 $-1$ 的二元非中心 t"，也是 Owen (1965) 研究的情形。

3.2 功效作为单一积分（逐步推导）

TOST 在水平 $\alpha$ 下拒绝当且仅当

$$ T_1>t_{1-\alpha,\nu}\ \ \text{且}\ \ T_2<-t_{1-\alpha,\nu} \iff t_{\alpha}W-\delta_1 < Z < -t_{\alpha}W-\delta_2, \qquad t_\alpha:=t_{1-\alpha,\nu}. $$

这个关于 $Z$ 的区间非空当且仅当

$$ t_\alpha W-\delta_1 < -t_\alpha W-\delta_2 \iff W < w^*:=\frac{\delta_1-\delta_2}{2t_\alpha} =\frac{\theta_2-\theta_1}{2,t_\alpha,\sigma_w\sqrt{2/N}}. $$

于是对 $W$ 求条件期望，得到精确功效的单一积分：

$$ 1-\beta=\int_0^{w^*}\Big[\Phi\big(-t_\alpha w-\delta_2\big)-\Phi\big(t_\alpha w-\delta_1\big)\Big],f_W(w),dw $$

其中 $f_W(w)=\dfrac{2(\nu/2)^{\nu/2}}{\Gamma(\nu/2)}w^{\nu-1}e^{-\nu w^2/2}$。

对称情形（$\mu=0$、限 $\pm\theta$，即 $\delta_1=\delta=-\delta_2$）可化简为

$$ 1-\beta=\int_0^{\theta/(t_\alpha\sigma_w\sqrt{2/N})}\big[2\Phi(\delta-t_\alpha w)-1\big],f_W(w),dw, $$

其中 $2\Phi(x)-1$ 就是"落入区间 $[-x,x]$"的概率——两尾结构在此体现得最清楚。

3.3 用 Owen's Q 表达（与单一积分等价）

利用 $\int_0^{w^}=\int_0^{\infty}-\int_{w^}^{\infty}$，并代入 2.3 中 $Q_\nu$ 与 $F_\nu$ 的关系，得

$$ 1-\beta=F_\nu(-t_\alpha;\delta_2)-F_\nu(t_\alpha;\delta_1)-Q_\nu!\big(-t_\alpha\sqrt\nu,\delta_2;0,R\big)+Q_\nu!\big(t_\alpha\sqrt\nu,\delta_1;0,R\big) $$

其中

$$ R=w^*\sqrt\nu=\frac{\sqrt\nu,(\theta_2-\theta_1)}{2,t_\alpha,\sigma_w\sqrt{2/N}}. $$

逐项解读：

  1. $F_\nu(-t_\alpha;\delta_2)-F_\nu(t_\alpha;\delta_1)$：两个非中心 t CDF 之差——即"忽略 $W$ 的上限截断"的近似，也是 $Q_\nu(\cdot;\cdot;0,0)$ 的线性组合；
  2. $-Q_\nu(-t_\alpha\sqrt\nu,\delta_2;0,R)+Q_\nu(t_\alpha\sqrt\nu,\delta_1;0,R)$：$R>0$ 处的截断校正。

数值验证：截断校正项在常规参数下极小，因此"两个非中心 t CDF 之差"本身就是极好的精确近似；真正重要的是保留两尾联合结构，而不是用单侧正态近似。

这也正是 Diletti et al. (1991) 与 Phillips (1990) 在 BE 文献里给出的 Owen-Q 型精确功效公式的内核。

3.4 样本量反推（迭代流程）

  1. 用 2.5 的近似公式得到初始 $N_0$；
  2. 对当前 $N$ 计算精确功效（3.2 或 3.3 式）；
  3. 若功效 $<1-\beta$ 则增大 $N$，否则减小；可用二分法；
  4. 取偶数 $N$（保证两序列均衡），并常额外预留 10–20% 脱落率。

3.5 数值示例（工作示例）

设定：$2\times2$ 交叉，个体内 $\mathrm{CV}=20%$（$\sigma_w=\sqrt{\ln 1.04}=0.19804$），真实比值 $1.0$（$\mu=0$），等效限 $0.80$–$1.25$，$\alpha=0.05$，目标功效 $80%$。

以 $N=16$ 为例：$\nu=14$，$t_{0.95,14}=1.7613$，$\mathrm{SE}=0.19804\sqrt{2/16}=0.07002$，$\delta_1=0.22314/0.07002=3.1869$，$\delta_2=-3.1869$。代入积分得精确功效 $=0.8332\ge 0.8$；而 $N=14$ 只有 $0.7549$。因此 $N=16$。

精确 vs 近似对比表（同一设定）：

$N$ 精确功效（Owen Q） 单侧正态近似 "两个非中心 t CDF 之差"近似
12 0.6445 0.8283 0.6432
14 0.7549 0.8847 0.7548
16 0.8332 0.9230 0.8332
20 0.9249 0.9663 0.9249

读表结论：单侧正态近似系统性高估功效（$N=12$ 报 83% 而真实仅 64%），用它定样本量会导致研究把握度不足；"两个非中心 t CDF 之差"与精确值几乎一致，说明精确计算的核心是保留两尾联合结构——这正是 Owen's Q 的用途。

其他情形的精确样本量：

情形 目标功效 最小 $N$
CV=20%，比值=1.0 80% 16
CV=20%，比值=0.95（$\mu=-0.0513$） 80% 19
CV=20%，比值=0.95 90% 25
CV=30%，比值=1.0 80% 32

约定提醒：不同软件/教材由于（a）精确 vs 近似公式、（b）$\sigma_w$ 的定义、（c）80% vs 90% 功效、（d）是否含脱落补偿，给出的数字可能相差约 $\sqrt2$ 倍。本文数字对应 $\mathrm{SE}=\sigma_w\sqrt{2/N}$ 的精确 Owen-Q 计算。

4. Owen's T/Q 的数值计算方法（最新）

4.1 Owen's T 的计算

  • 直接数值积分：定义式在 $[0,a]$ 上做高斯求积即可，$a$ 很大时用 $T(h,\infty)=\tfrac12\Phi(-|h|)$ 截断。
  • 级数/连分式（Patefield & Tandy 2000）：把 $T(h,a)$ 表成快速收敛的级数，并用连分式加速，可稳定达到约 14–15 位有效数字。
  • 经典算法：Young & Minder (1974) 的 AS 76，以及 Boys (1989) 的 AS R80 勘误改进。
  • 间接路线：通过二元正态 CDF 算法（Genz 2004）反解 $T$。

4.2 非中心 t CDF 的计算

  • 级数 / 不完全 beta：Cooper (1968) AS 5（积分式）；Lenth (1989) AS 243（用正则化不完全 beta 函数的级数，是 R 的 pt(q, df, ncp) 的底层原型）。
  • 离散混合：Benton & Krishnamoorthy (2003) 把非中心 t 表成泊松混合的加权中心 t，对大 $\nu$、大 $|\delta|$ 更稳。
  • 单一积分表示＋高斯求积：实现简单、可任意精度。
  • 渐近展开（近期）：Gil、Segura、Temme 等近期工作给出对极端参数稳定的渐近与反演公式。

4.3 Owen's Q 与 TOST 功效的直接计算

  • $R=0$ 情形：直接用非中心 t CDF。
  • $R>0$ 情形：$Q_\nu(t,\delta;0,R)=\int_{R/\sqrt\nu}^{\infty}\Phi!\big(\tfrac{tw}{\sqrt\nu}-\delta\big)f_W(w),dw$，直接高斯求积。
  • 组合式：按 3.3 式把 TOST 功效写成两个 $F_\nu$ 之差减去两个 $Q_\nu$ 校正项；实践中校正项极小。
  • 高精度实现：R 包 OwenQ（Stéphane Laurent）用 Rcpp 实现了 $Q_\nu$ 与非中心 t 的高精度版本。

4.4 数值稳定性要点

  1. 相消问题：$2\Phi(x)-1$ 在 $x$ 较大时应改用补误差函数 $\operatorname{erfc}$ 的尾部表达式。
  2. 非中心 t 的尾部：$|\delta|$ 很大时需用反射/互补公式。
  3. 密度下溢：$w^{\nu-1}e^{-\nu w^2/2}$ 应在对数域计算。
  4. 参数边界：$|\delta|$ 或 $\nu$ 极端时用渐近公式兜底。

5. 计算机实现（C/Fortran 公开代码）

有公开代码——既有 Fortran 的经典 Applied Statistics 算法，也有 C/C++ 的现代库，以及 R 生态的成熟实现：

库 / 算法 语言 关键函数 用途与来源
AS 5 (Cooper 1968) Fortran 非中心 t CDF statlib /apstat/5
AS 76 (Young & Minder 1974) Fortran Owen's T statlib /apstat/76
AS R80 (Boys 1989) Fortran AS 76 勘误 statlib /apstat/R80
AS 243 (Lenth 1989) Fortran 非中心 t CDF statlib /apstat/243
DCDFLIB (Brown, Lovato, Russell) C + Fortran cdftnc（非中心 t）、cdft、cdffnc 等 statlib 通用发行版
Boost.Math C++ owens_t、non_central_t、bivariate_normal boost.org（头文件库）
GSL C 仅中心 t（gsl_cdf_tdist） 非中心 t 是已知空缺
R stats::pt(q, df, ncp) C（源自 AS 243） 非中心 t CDF R 基础包
R PowerTOST (Labes & Schütz) R/C power.TOST、sampleN.TOST（Owen Q 精确功效） CRAN
R OwenQ (Laurent) R/Rcpp OwenQ1/Q2/Q3、非中心 t CRAN / GitHub
R sn (Azzalini)、mnormt R T.Owen、pst、sadmvn、biv.nt.prob CRAN
SciPy scipy.stats.nct C/Python 非中心 t SciPy

要点：

  • Fortran 经典算法（AS 系列）是"第一手"公开代码，适合直接移植或对照；DCDFLIB 同时提供 C 与 Fortran 两个版本，覆盖非中心 t。
  • 现代 C++ 首选 Boost.Math：owens_t(h, a) 直接算 Owen's T，non_central_t 提供非中心 t 的 CDF/PDF/分位数，bivariate_normal 算二元正态。
  • BE 样本量的"开箱即用" 首选 R 的 PowerTOST：内部正是用 Owen's Q（Phillips 1990 / Diletti 1991）做精确功效与样本量。
  • 验证/高精度 用 OwenQ 包对 $Q_\nu$ 与功效做独立复核。

6. 简要总结

  1. Owen's T/Q 是"等效/非劣"类检验功效计算的精确引擎：它解决的问题是——当检验由两个共享同一随机分母的非中心 t 统计量共同决定（TOST、生物等效性）时，如何精确计算联合概率。

  2. 逻辑链条：非中心 t 的 CDF 是单一积分 $\int_0^\infty\Phi(tw-\delta)f_W(w)dw$；Owen's Q 就是这个积分的推广（下限从 $0$ 变为 $R$），且 $F_\nu(t;\delta)=Q_\nu(t\sqrt\nu,\delta;0,0)$；TOST 功效 = 两个非中心 t CDF 之差 减 两个 $Q_\nu$ 截断校正项，并可等价写成一个从 $0$ 到 $w^*$ 的单一积分。

  3. 实践要点：简单单侧正态近似会系统性高估功效（$N=12$ 时误报 83% vs 真实 64%），因此法规与高精度场景必须用精确方法；而"两个非中心 t CDF 之差"本身就已几乎精确（截断校正极小），所以精确计算的关键是保留两尾联合结构。

  4. 数值与实现都已成熟：Fortran 有 AS 5/76/243、DCDFLIB；C++ 有 Boost.Math；R 有 pt(..., ncp)、PowerTOST、OwenQ、sn/mnormt。Patefield–Tandy (2000) 与 Lenth (1989) 分别是 Owen's T 与非中心 t 计算的基准算法，近期 Gil–Segura–Temme 的渐近展开补齐了极端参数场景。

  5. 一个可直接使用的精确功效公式（$2\times2$ 交叉、$\mathrm{SE}=\sigma_w\sqrt{2/N}$、$\nu=N-2$）：

$$ 1-\beta=\int_0^{w^}\Big[\Phi\big(-t_\alpha w-\delta_2\big)-\Phi\big(t_\alpha w-\delta_1\big)\Big]\frac{2(\nu/2)^{\nu/2}}{\Gamma(\nu/2)}w^{\nu-1}e^{-\nu w^2/2},dw, \qquad w^=\frac{\theta_2-\theta_1}{2,t_\alpha,\sigma_w\sqrt{2/N}}. $$

把该积分封装成一个函数，再套用二分/迭代即可得到任意精度下的最小样本量。

主要参考文献

  • Owen, D. B. (1956). Tables for computing bivariate normal probabilities. Ann. Math. Statist. 27, 1075–1090.
  • Owen, D. B. (1965). A special case of a bivariate non-central t-distribution. Biometrika 52, 437–446.
  • Owen, D. B. (1968). A survey of properties and applications of the non-central t-distribution. Technometrics 10, 445–478.
  • Schuirmann, D. J. (1987). A comparison of the two one-sided tests procedure and the power approach for assessing the equivalence of average bioavailability. J. Pharmacokinet. Biopharm. 15, 657–680.
  • Phillips, K. F. (1990). Power of the two one-sided tests procedure in bioequivalence. J. Pharmacokinet. Biopharm. 18, 137–144.
  • Diletti, E., Hauschke, D., & Steinijans, V. W. (1991). Sample size determination for bioequivalence assessment by means of confidence intervals. Int. J. Clin. Pharmacol. Ther. Toxicol. 29, 1–8.
  • Patefield, M., & Tandy, D. (2000). Fast and accurate computation of Owen's T function. J. Stat. Softw. 5(5), 1–25.
  • Young, J. C., & Minder, C. E. (1974). Algorithm AS 76. Appl. Statist. 23, 455–457; Boys, R. J. (1989). AS R80. Appl. Statist. 38, 580–582.
  • Lenth, R. V. (1989). Algorithm AS 243: Cumulative distribution function of the non-central t distribution. Appl. Statist. 38, 185–189.
  • Benton, D., & Krishnamoorthy, K. (2003). Computing discrete mixtures of continuous distributions. Comput. Statist. Data Anal. 43, 249–267.
  • Genz, A. (2004). Numerical computation of rectangular bivariate and trivariate normal and t probabilities. Stat. Comput. 14, 251–260.
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